设$X$是实直线的子集合，那么下述两命题是逻辑等价的.
(a)$X$是有界的并且是连通的.
(b)$X$是有界区间.
证明:当$X$是空集时，两个命题显然是逻辑等价的.
当$X$是非空集合时，
(a)$Rightarrow$(b):由于$X$非空，且$X$有界，因此$X$有上确界$sup (X)$和下确界$inf(x)$.当$sup (X)=inf(X)$时，易得$X$是单点集，此时$X$是有界区间.当$sup(X)>inf(X)$时，
若$sup(X),inf(X)in X$,则根据连通的定义可知$[inf X,sup(X)]subseteq X$.且易得$Xsubseteq [inf X,sup X]$.因此$X=[inf X,sup X]$,可见，$X$是有界区间.
若$sup (X)
otin X,inf (X)in X$,则易得$[inf X,sup X)subseteq X$(为什么?),且易得$Xsubseteq [inf X,sup X]$,因此$[inf X,sup X)=X$.
若$sup X
otin X,inf X
otin X$,易得$X=(inf X,sup X)$(为什么?).
若$sup Xin X,inf X
ot in X$,易得$X=(inf X,sup X]$.
(b)$Rightarrow $(a)是容易的.