1.四轴飞行器运动学和动力学模型

在讨论四轴飞行器时，明确定义两个参考坐标系会很有帮助：一个固定的世界坐标系$W$和一个牢固地附着到四轴飞行器的质心（CoM）的运动坐标系$B$。

假设运动坐标系B{B}$B$的x轴指向电动机编号1，y轴指向电动机编号2，并且当四轴飞行器电机静止在水平表面上时，z轴指向“上”。



$F_i$ = 电动机$i$的推力(N) 、 $M_i$ = 螺旋桨$i$对$B$的转矩(力矩)(N*m)， 其中i ∈ [1, 2, 3, 4]。

我们可以通过使用三个欧拉角来描述运动框架$B$相对于$W$的方向。具体来说，让我们定义一下横滚（侧倾）角（$\varphi$），俯仰角（$\theta$）和偏航角（$\psi$）作为固有（ZXY）旋转序列，其中，

换句话说，左乘一个向量p，由${}_B^{W}R$表示的$B$将给出以$W$表示的p的坐标。

$${\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right]}_W={}_B^{W}R{\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right]}_B$$

轴飞行器飞机具有许多功能，使它们在动力学和控制方面变得有趣起来。如前所述，3D空间中的刚体具有六个自由度。但是，四轴飞行器只有四个电机作为控制输入，因此四轴飞行器是欠驱动系统的一个示例。这意味着四轴飞行器不能独立控制每个平移和旋转自由度。

四轴飞行器的欠驱动特性迫使某些旋转运动和平移运动之间发生运动学耦合。为了使四轴飞行器向前或向后移动，${\mathbf{b}}_{\mathbf{x}}$表示“前进”方向，四轴飞行器必须围绕${\mathbf{b}}_{\mathbf{y}}$轴有一个正的俯仰角。同样，为了“向右”移动，即朝-方向移动${\mathbf{b}}_{\mathbf{y}}$轴，四轴飞行器必须具有正侧倾角${\mathbf{b}}_{\mathbf{x}}$。

从概念上讲，垂直方向的移动要简单得多。每个电机沿电机产生一个力${\mathbf{b}}_{\mathbf{z}}$与电机角速度平方成比例的轴，

$$F_i=k_F{\omega }_i^2$$

其中， $k_F$是常数，并且$i$ ∈[1，2，3，4]。每个电机的力沿着${\mathbf{b}}_{\mathbf{z}}$。如果电动机的净推力大于重力，则四旋翼将“向上”加速。当然，反之亦然。

偏航（yaw）运动-关于 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{z}}$。电机位于${\mathbf{b}}_{\mathbf{x}}$ 轴，电动机1和3顺时针旋转（关于${\mathbf{b}}_{\mathbf{z}}$ 轴），而位于 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{y}}$轴2和4逆时针旋转。需要相反的旋转对来抵消来自四轴飞行器机体上的旋转叶片的感应扭矩。每个转子转矩的大小与电动机角速度的平方成正比，

$$T_i=k_M{\omega }_i^2$$

其中， $k_M$是常数，并且$i$∈[1，2，3，4]。

根据牛顿第三定律，在四轴飞行器上产生的扭矩与螺旋桨的旋转方向相反。，对于Unity模拟器中的四轴飞行器(下图)，电机1和3位于${\mathbf{b}}_{\mathbf{x}}$轴上，并顺时针旋转(从上图可见)，而电机2和4位于${\mathbf{b}}_{\mathbf{y}}$轴上，并逆时针旋转。因此，来自电动机1和3的扭矩作用于+${\mathbf{b}}_{\mathbf{z}}$电机2和4的扭矩作用于-$\mathbf{b}$