第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题六参考解答
设 $bR^{n imes n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,cdots,n$. 记 $vGa_r$ 表示秩为 $r$ 的实方阵全体, $r=0,1,2,cdots,n$; 并让 $phi: bR^{n imes n} o bR^{n imes n}$ 为可乘映照, 即满足 $$ex phi(AB)=phi(A)cdot phi(B),quad forall A,Bin bR^{n imes n}. eex$$ 证明: (1) 对 $forall A,Bin vGa_r$, 有 $ ankphi(A)= ankphi(B)$. (2) 若 $phi(0)=0$, 且存在 $r=1$ 的矩阵 $W$ 使得 $phi(W)=0$, 则必存在可逆方阵 $R$ 使得 $$ex phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1},quad forall i,j=1,2,cdots,n. eex$$
证明: (1) 由 $A,Bin vGa_r$ 知存在可逆阵 $P,Q$, 使得 $A=PBQ$, 而 $$ex phi(A)=phi(P)phi(B)phi(Q) a ankphi(A)leq ankphi(B). eex$$ 反过来也有 $$ex ankphi(B)leq ankphi(A). eex$$ 故 $$ex ankphi(A)= ankphi(B). eex$$ (2) 记 $F_{ij}=phi(E_{ij})$, 则由 $$ex F_{ij}=phi(E_{ii})=phi(E_{ii}E_{ii}) =phi(E_{ii})phi(E_{ii})=F_{ij}^2 eex$$ 知 $F_{ij}$ 幂等; 由 $E_{ij}E_{kl}=delta_{jk}E_{il}$ 知 $$ex F_{ij}F_{kl}=phi(delta_{jk}E_{il}) =sedd{a{ll} F_{il},&j=k\ 0,&j eq k ea} =delta_{jk}F_{il}; eex$$ 再由 (1) 及 $ ank(E_{ii})= ank(W)=1$ 知 $$ex ank(F_{ij})= ankphi(E_{ii})= ankphi(W)geq 1. eex$$ 而 $F_{11}$ 有属于特征值 $1$ 的特征向量 $alpha_1$. 记 $$ex alpha_j=F_{j1}alpha_1,quad j=2,cdots,n. eex$$ 则由 $$eex ea &quad sum_{i=1}^n lambda_ialpha_i=0\ & a 0=F_{1j}sex{sum_{i=1}^n lambda_ialpha_i} =sum_{i=1}^n lambda_i F_{1j}F_{i1}alpha_1 =sum_{i=1}^n lambda_i delta_{ij}alpha_1 =lambda_jalpha_1\ & a lambda_j=0 eea eeex$$ 知 $alpha_1,cdots,alpha_n$ 线性无关. 再记 $$ex P=(alpha_1,cdots,alpha_n), eex$$ 则 $P$ 可逆, 且由 $$ex F_{ij}alpha_k =F_{ij}F_{k1}alpha_1 =delta_{jk}F_{i1}alpha_1 =delta_{jk}alpha_i eex$$ 知 $$eex ea F_{ij}P&=(F_{ij}alpha_1,cdots,F_{ij}alpha_n)\ &=(0,cdots,alpha_i,cdots,0)\ &quad quad quad ,mbox{第 }jmbox{ 个}\ &=(alpha_1,cdots,alpha_n)E_{ij}\ &=PE_{ij}. eea eeex$$ 于是 $$ex phi(E_{ij})=F_{ij}=P E_{ij} P^{-1}. eex$$